深入理解Uniswap的集中流动性基本原理

如果你了解过 Uniswap V2，你一定知道它最大的优点是“完全自动化”，最大的问题也是“完全自动化”。资金一旦进入，都会机械地分布在从0到∞的整个价格区间。

这本来很公平，却非常低效：

大多数时间，资产都在远离市场价格的位置“睡觉”，没有人交易到那里，也不产生手续费。

于是，Uniswap V3 提出一个革命性的概念：集中流动性（Concentrated Liquidity）。

它让 LP 可以把资金“集中”在自己认为合适的价格范围内，让“活钱干活”。

一、什么是集中流动性：背景与要解决的问题

去中心化交易合约 Uniswap 采用自动做市商（AMM）模型，用户无需挂单，也无需寻找对手方，只要向池子中注入两种代币，就可以成为流动性提供者。这种模式非常简洁，但也带来了一个不易察觉的问题：大部分流动性并没有发挥作用。

为了说明这一点，我们需要先回顾 Uniswap v2 的机制。

1. 传统 AMM：恒定乘积与“全价格区间”

在 v2 的恒定乘积模型中，交易池中维持一个恒定公式：

x · y = k

这里的 x 和 y，是池中两种资产的数量，k 是常数。无论市场价格如何波动，这个公式总是成立。

但这个模型隐含一个设定：池子的流动性分布在从 0 到 ∞ 的整个价格范围上。理论上无论价格涨到多高、跌到多低，这个池子都“准备好”提供流动性。

问题是：真实市场的价格从来不会走到 0 或无穷大。

换句话说，流动性被被动地散布在一个几乎永远用不上的超级宽区间里。

2. 流动性利用率的问题

如果流动性分布在一个过大的范围上，会造成一个非常直接的后果：

绝大部分资金是在“睡觉”。

现实中，价格通常在一个较窄范围内波动，因此真正参与交易的，只是这个范围以内的资金。而其他资金只是静静地躺着，却仍然需要占用资本。

于是就出现两个影响：

对交易者来说，主动成交的深度有限，滑点高；
对 LP 来说，明明投入很多资金，收益却并不成比例。

换句话说：

资金利用率低。

3. 为什么需要集中流动性

Uniswap 在 v3 版本提出集中流动性（Concentrated Liquidity），核心思想非常直接：

流动性应当放在实际会发生交易的价格区间里。

如果价格长期在一个区域波动，那 LP 就可以把流动性集中在这个区域，不再浪费在可能根本不会出现的极端价格上。

这样带来的效果是显著的：

同样的资金，提供更深的流动性
对大额交易的价格冲击减小
手续费收入提高

这实际上把 AMM 从“广泛分布”改成了“局部有效分布”。

4. 集中流动性的定义

严格来说，集中流动性是指：

LP 只在自己设定的价格区间 \([P_{lower}, P_{upper}]\) 内提供流动性，一旦价格超出范围，就不再参与交易，也不再赚费。

这意味着，每一个 LP 不再是一个简单的资金池，而变成一个“带有条件的流动性头寸”。

从合约的角度看，是把一个大池子拆成很多小区间，把流动性分别放入这些区间，交易发生在哪个区间，哪个区间的 LP 就得到手续费。

5. 它解决的到底是什么问题

如果用一句话概括：

用同样的资本，获得更高的有效深度。

但具体来说，它带来三项核心改进：

提高资本效率
降低滑点
提高 LP 的费收益率

这些优点都来自同一个事实：流动性终于可以集中，而不是无边界地稀释。

6. 但它并不是免费的优化

集中流动性并没有改变 AMM 的基本逻辑，而是引入一个新的维度：价格区间。

这让 LP 的岗位变得更像需要判断价格趋势的“策略性角色”。因此，集中流动性同时带来了一个新的风险：

如果价格突破区间，头寸会变成单边资产，并停止产生收益。

为了获得更高的收益，需要承担更多管理与判断成本。这是一种典型的“收益与风险互换”关系。

二、集中流动性是如何运行的

1. 提供流动性需要输入什么

假设我们向 ETH/USDC 池子提供流动性，合约会要求我们输入：

币对：ETH / USDC
价格区间
- lower price 例：2000 USDC/ETH
- upper price 例：3000 USDC/ETH
想提供多少 ETH 或多少 USDC

也就是说，我们其实是在告诉合约三件事：

我想参与 ETH / USDC 交易对的做市
在 2000～3000 这个区间
我愿意提供多少币

2. 需要提供什么代币

假设当前 ETH/USDC 价格是 2500，那么系统判断为：

2000 < 2500 < 3000

也就是“价格在区间内”。

这个判断非常重要，因为它直接影响我们需要提供的资产结构：

三种情况

当前价格	需要提供
在区间内	需要同时提供 ETH 和 USDC
当前价格低于区间	只会用到 USDC
当前价格高于区间	只会用到 ETH

为什么会这样？它不是策略，而是数学决定的：AMM 会在不同价格状态下，自动将持仓偏向一种资产，这由模型决定，不是策略行为。

简单地理解就是，物以稀为贵。当价格较低时，交易池需要更多的 USDC，当价格较高时，交易池需要更多的 ETH。

3. 理解流动性

虽然我们给的是资产（ETH/USDC），但合约内部记录的是一个抽象量 L（流动性单位）。

理解要点：

我们投入的是资产
合约记录的是 L
我们未来赚的钱与 L 成正比

更直观说：

L 就像我们在这个价格区间的“份额大小”。

而 ETH / USDC 的数量，会随着价格变化自动调整。

4. 价格区间离散化

我们给的区间是连续价格（比如 2000→3000），但合约内部用 tick 记录价格。

合约会把它们转成：

\(tick_{Lower}\)
\(tick_{Upper}\)

tick 是一个离散价格，用来标记区间边界。

这一步之后，合约会为这个区间范围增加相应的流动性，实际记录方式为只记录边界状态：

在 \(tick_{Lower}\) 位置把流动性 +L
在 \(tick_{Upper}\) 位置把流动性 -L

这样，当前活跃的流动性等于所有当前价格以下的净流动性之和：

\[ activeLiquidity = \sum (netLiquidity < \text{current tick}) \]

比如 \(tick_{Lower}=100\), \(tick_{Upper}=200\)，合约会记录为

netLiquidity[100] += 10
netLiquidity[200] -= 10

如果当前价格 tick 是 150，那么 activeLiquidity 等于所有 tick < 150 的 netLiquidity 之和，也就是10

如果当前价格 tick 是 205，那么 activeLiquidity 等于所有 tick < 205 的 netLiquidity 之和，也就是0

所以，当价格穿过这些 tick 时，系统就知道应该在什么时候开始、什么时候结束使用我们的流动性。

为什么在存储区间时，要对价格进行离散处理？

如果用线性划分，当 ETH/USDC 的价格在 2000～3000 区间时，简单切 1000 段，每段 1USDC，当然可以，看起来也很自然。

但是如果价格区间变为 0.2~0.3 或者更低呢？还是按照切 1000 段，就会导致每段区间过小，整体刻度是极不均匀的。

而且真实情况下，不同代币的价格可能跨越几个数量级，从 0.0000001 到 10000000 都可能，因此也无法为所有的币统一刻度。

如何进行离散处理呢？

我们设定每个刻度对应的价格是前一个刻度对应价格的固定倍数 \(r\)，那么对于tick+1刻度的价格 \(P_{tick+1}\) 有以下公式

\[ P_{tick+1} = P_{tick} \times r \]

由此就很容易推导出以下公式

\[ P_{tick} = P_0 \times r^{tick} \]

如果设定初始值 \(P_0=1\)，常量 \(r=1.0001\)，则可以得到

\[ P_{tick} = 1.0001^{tick} \]

这意味着每次 tick 移动，价格变 0.01%。

现在我们就可以将任意价格使用tick表示

\[ tick = log_{1.0001}P \]

比如

\(P=0.25\) 对应的 \(tick\approx-13864\)

\(P=2500\) 对应的 \(tick\approx78244\)

那么我们的均匀刻度就设计好了，它可以适用于任意价格的代币（只要价格不是负数🤪）

5. 保存流动性状态

当我们添加流动性时，系统会给我们分配一个 NFT，它记录：

选择的区间（2000～3000）
L 的大小
已经累计能够领取的手续费
后续计算手续费需要用到的当前 fee 状态

因此：

做市行为不再是池子的一部分，而是一个 NFT 记录的独立头寸。

6. 持仓变化

当价格在区间内：

同时持有 ETH 和 USDC
随着交易发生，两者互相转换
参与撮合并赚手续费

如果价格跌破 2000：

头寸会变成全部 USDC
不再参与做市，也停止赚手续费

如果价格突破 3000：

头寸会变成全部 ETH
同样退出做市

换句话说：

ETH 涨，头寸更偏 ETH；ETH 跌，头寸更偏 USDC。

这个行为不是策略，而是 AMM 自动完成的结果。

7. 手续费结算

交易发生在区间内（2500在内），就会累积手续费。合约内部会把手续费累计到该区间的 feeGrowth 中。

提现时合约会做两件事：

返回当前持仓（可能是 ETH+USDC，可能是单币）
返回累计所得手续费

不需要手动领，提现时自动结算。

三、主要公式推导

1. 官方白皮书

v2链接： https://docs.uniswap.org/whitepaper.pdf

v3链接： https://app.uniswap.org/whitepaper-v3.pdf

v4链接： https://app.uniswap.org/whitepaper-v4.pdf

2. 基础公式

虚拟资金池曲线（交易模型）

\[ x \times y = k \tag{1} \]

流动性

\[ L = \sqrt{xy} \tag{2} \]

价格

\[ P = \frac{y}{x} \tag{3} \]

有效资金池曲线

\[ (x+\dfrac{L}{\sqrt{p_{b}}})(y+L\sqrt{p_{a}})=L^{2} \tag{4} \]

2. 有效资金池曲线推导

图1 虚拟资金池

根据上图1所示，当前价格在 c 点，假设实际价格的波动范围为 [a,b]

那么当价格从 c 点向 a 点滑动时，资金池的消耗最大为 \(y_{real}\) ，同理，当价格由 c 点向 b 点滑动时，资金池的消耗最大为 \(x_{real}\)

因此，理论上只需要提供 \(x_{real}\) 和 \(y_{real}\) 就够了，其余的资金是永远都用不上的，这也说明了为什么xyk基础模型的资金利用率低

那么问题来了，实际有效的资金池曲线应该是什么样的呢？

图2 有效资金池

如上图2所示，我们开始推导这个有效资金池曲线公式

\[ L^2 = xy \\ P = \frac{y}{x} \]

对于攻读过初中数学学位的人来说，将等式两边相乘和相除就可以轻松推导出以下公式

\[ \begin{aligned} x=\dfrac{L}{\sqrt{P}} \\ y=L\sqrt{P} \tag{4} \end{aligned} \]

由图1可知

\[ x=x_{real}+x_b \\ y=y_{real}+y_a \]

代入公式 (1) 的 xyk 模型可得

\[ (x_{real}+x_b)(y_{real}+y_a)=k=L^2 \]

再根据公式 (4) 将 \(x_b, y_a\) 替换可得

\[ (x_{real}+\dfrac{L}{\sqrt{P_{b}}})(y_{real}+L\sqrt{P_{a}})=L^{2} \]

这就是最终的有效资金池曲线了

3. 计算流动性变化

我们提供流动性后，合约开始进行各种交易行为，那么要如何计算当前我们提供的流动性中资产是如何分配的？

根据上面的公式(4)：

\[ \begin{aligned} x=\dfrac{L}{\sqrt{p}} \\ y=L\sqrt{P} \tag{4} \end{aligned} \]

令：

\[ \begin{aligned} S = \sqrt{P} \end{aligned} \]

则：

\[ \begin{aligned} x=\dfrac{L}{S} \\ y=LS \end{aligned} \]

因为 L 不变，对 S 求微分：

对 x：

\[ x = \frac{L}{S} \Rightarrow dx = -L \frac{1}{S^2} dS \]

对 y：

\[ y = L S \Rightarrow dy = L dS \]

所以有两条很重要的微分关系：

\[ dx = -L \frac{1}{S^2} dS,\qquad dy = L dS \]

假设一个 LP 的有效价格区间是：

下界价格：\(P_a\)，对应 \(S_a = \sqrt{P_a}\)
上界价格：\(P_b\)，对应 \(S_b = \sqrt{P_b}\)

只看 \(token_y\) 的变化

在区间内，S 从 (S_a) 增长到 (S_b) 时：

\[ dy = L dS \]

对 S 从 (S_a) 到 (S_b) 积分：

\[ \Delta y = \int_{S_a}^{S_b} L, dS = L (S_b - S_a) = L(\sqrt{P_b} - \sqrt{P_a}) \]

这就是 在整个 \([P_a, P_b]\) 区间里对应的 \(token_y\) 数量：

\[ amount_y = L(\sqrt{P_b} - \sqrt{P_a}) \]

只看 \(token_x\)的变化

对 \(token_x\)：

\[ dx = -L \frac{1}{S^2} dS \]

注意： x 和 S 方向相反（价格上升 → \(token_x\) 减少），我们要的是区间内总共的 \(token_x\) 数量，取绝对值来算：

\[ \Delta x = \int_{S_a}^{S_b} L \frac{1}{S^2} dS \]

计算：

\[ \int \frac{1}{S^2} dS = -\frac{1}{S} \]

所以：

\[ \Delta x = L\left[-\frac{1}{S}\right]_{S_a}^{S_b} = L\left(-\frac{1}{S_b} + \frac{1}{S_a}\right) = L\left(\frac{1}{S_a} - \frac{1}{S_b}\right) \]

代回 \(S = \sqrt{P}\)：

\[ amount_x = L\left(\frac{1}{\sqrt{P_a}} - \frac{1}{\sqrt{P_b}}\right) \]

这就是 \(token_x\) 的区间公式。

上面推导的是整个 \([P_a, P_b]\) 区间的总 x/y。但实际情况取决于当前价格 (P) 在区间里的位置：

情况 A：当前价格在区间内部（\(P_a < P < P_b\)）

这时的头寸是“部分在 token0，部分在 token1”：

对 \(token_x\)，有效区间是 [P, Pb] （高价端还没被换走的 \(token_x\)）
\[ amount_x = L\left(\frac{1}{\sqrt{P}} - \frac{1}{\sqrt{P_b}}\right) \]
对 \(token_y\)，有效区间是 [Pa, P] （从下界到现在已经变成 \(token_y\) 的部分）

[ amount_y = L(\sqrt{P} - \sqrt{P_a}) ]

情况 B：价格低于区间（\(P \le P_a\)）

还没开始“向上走”，流动性全部在 \(token_x\) 形态：

\[ amount_x = L\left(\frac{1}{\sqrt{P_a}} - \frac{1}{\sqrt{P_b}}\right) \\ \quad amount_y = 0 \]

情况 C：价格高于区间（\(P \ge P_b\)）

已经“完全向上走完”，全部变成 \(token_y\)：

\[ amount_x = 0 \\ \quad amount_y = L(\sqrt{P_b} - \sqrt{P_a}) \]

4. 计算实际交易价格

我们已经知道了交易原理和基本公式，那么当我们准备通过交易池兑换代币时，因为我们投入的资产也会影响交易池的资产比例，\(P=\dfrac{y}{x}\) 只是理论价格，那么应该如何计算实际交易价格呢？比如说1个 ETH 能换多少 USDC ？

当我们往池子里投入 \(\Delta x\) 个 ETH 时，池中的 USDC 会减少 \(\Delta y\)，对应的价格也会从 \(P_0\) 下跌到 \(P_1\)，于是有以下关系

\[ \begin{aligned} \Delta x &= L\left(\frac{1}{\sqrt{P_1}} - \frac{1}{\sqrt{P_0}}\right) = L\left(\frac{1}{S_1} - \frac{1}{S_0}\right) \Rightarrow S_1 = \frac{1}{\dfrac{\Delta x}{L} + \dfrac{1}{S_0}} \\ \Delta y &= L(\sqrt{P_0} - \sqrt{P_1}) = L(S_0 - S_1) = L\left(S_0 - \frac{1}{\dfrac{\Delta x}{L} + \dfrac{1}{S_0}}\right) \end{aligned} \]

其中，L为当前区间的流动性。

如果交易量很大、会跨 tick，就把区间拆成多段，对每一段用同样的方法算一段，然后把每一段的 Δy 累加起来即可。